MATEMÁTICAS INSANTOS
Siempre estoy de ti
Institución Educativa Antonia Santos
Dolores-Tolima
PROBABILIDAD CONDICIONADA
La probabilidad condicional o probabilidad condicionada es cuando dos eventos o posibilidades son dependientes, es decir, que para ocurrir un evento B, debió haber ocurrido anteriormente el evento A.
FÓRMULA DE PROBABILIDAD CONDICIONAL
EJEMPLOS DE PROBABILIDAD CONDICIONAL
1. En un pueblo se somete a sus vecinos a votación sobre la instalación de una antena de telefonía. Los resultados se muestran en la siguiente tabla:
Si se quiere seleccionar al azar un vecino cuál es la probabilidad de:
A) Sean varones.
B) Sean varones y tenga una antena telefónica.
C) No tengan antena telefónica.
D) No tengan antena telefónica y sean varones.
SOLUCIÓN:
A) Sean varones.
E= {1157 vecinos}; el espacio muestral es la cantidad de posibilidades que se pueden escoger.
A= {540}; los eventos favorables es la cantidad de personas que queremos escoger.
​
P(A)= A/E ; REEMPLAZAMOS
P(A)= 540/1157 ; EFECTUAMOS
P(A)= 0,467 ; MULTIPLICAMOS POR 100
P(A)= 46,7% ; AÑADIMOS PORCENTUAL
​
En conclusión la probabilidad de escoger un vecino que sea varón es de 0,467 o del 46,7%.
B) Sean varones y tengan una antena telefónica.
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P(A)= 0,467
P(B)= 0,536
P(A∩B)= 0,274
​
P(A|B)= P(A∩B)/P(B)
P(A|B)= 0,274/0,536
P(A|B)= 0,511
P(A|B)= 51,1%
​
En conclusión la probabilidad de elegir un vecino que tenga antena telefónica y sea varón es 0,511 o de 51,1%.
C) No tengan antena telefónica.
E={1157 vecinos}
B´={537}
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P(B´)= B´/E
P(B´)= 537/1157
P(B´)= 0,464
P(B´)= 46,4%
​
En conclusión la probabilidad de escoger un vecino que no tenga antena telefónica es de 0,464 o del 46,4%.
D) No tengan antena telefónica y sean varones.
​
P(A)= 0,467
P(B´)= 0,464
P(A∩B´)= 0,193
​
P(A|B´)= P(A∩B´)/P(B)
P(A|B´)= 0,193/0,464
P(A|B´)= 0,416
P(A|B´)= 41,6%
​
En conclusión la probabilidad de escoger un vecino que no tenga antena telefónica y sea varón es de 0,416 o del 41,6%.
2. El 80% de los días, un estudiante es llevado en automóvil a la facultad. Cuando lo llevan en auto llega tarde el 20% de los días. Cuando no lo llevan, llega temprano a clase el 10% de los días. Esta información se representa en la siguiente figura.
Con base en el diagrama de árbol y utilizando la regla del producto, determina:
A) La probabilidad de que el estudiante llegue puntual a clase y lo hayan llevado en automóvil.
B) La probabilidad de que llegue tarde a clase.
C) Si ha llegado temprano a clase, ¿cuál es la probabilidad de que no lo hayan llevado en auto?
SOLUCIÓN:
A) No llegue tarde a clase y lo hayan llevado en auto.
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P(D)= 0,80 ; Probabilidad de no llegar tarde a clase.
P(A)= 0,80 ; Probabilidad de que lo hayan llevado en auto.
​
P(D∩A)= P(D) * P(A) ; Reemplazamos
P(D∩A)= 0,80 * 0,80 ; Operamos
P(D∩A)= 0,64 ; Multiplicamos por 100
P(D∩A)= 64%
​
En conclusión la probabilidad de que haya llegado puntual a clase si lo han llevado en automóvil es de 0,64 o del 64%.
​
B) La probabilidad de que llegue tarde a clase.
​
P(C)= 0,20 * 0,80 = 0,16 ; Probabilidad de llegar tarde luego de que lo han llevado en auto.
P(E)= 0,90 * 0,20 = 0,18 ; Probabilidad de llegar tarde luego de que NO lo han llevado en auto.
​
P(CUE)= P(C) + P(E) ; Reemplazamos
P(CUE)= (0,16 + 0,18) ; Sumamos
P(CUE)= 0,34 ; Multiplicamos por 100
P(CUE)= 34%
​
En conclusión, la probabilidad de llegar tarde a la clase es de 0,34 o del 34%.
C) Probabilidad de que llegue temprano a clase si no lo llevaron en coche.
​
P(F)= 0,10
P(B)= 0,20
​
P(F|B)= P(F∩B)/P(B) ; Reemplazamos
P(F|B)= (0,10 * 0,20) / 0,20 ; Multiplicamos
P(F|B)= 0,02/0,20 ; Dividimos
P(F|B)= 0,1 ; Multiplicamos por 100
P(F|B)= 10%
​
En conclusión, la probabilidad de que llegue temprano a clase dado que no lo llevaron en coche es de 0,1 o del 10%.
3. Un estudiante hace dos pruebas en un mismo día. La probabilidad de que pase la primera prueba es de 0,6; que pase la segunda es de 0,8, y que pase ambas es de 0,5.
A) ¿Cuál es la probabilidad de que pase al menos una prueba?
B) ¿Cuál es la probabilidad de que pase la segunda prueba en caso de no haber superado la primera?
SOLUCIÓN:
A)
A= PASAR PRIMERA PRUEBA
B= PASAR SEGUNDA PRUEBA
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P(A)= 0,6.
P(B)= 0,8.
P(A∩B)= 0,5.
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P(AUB)= P(A) + P(B) - P(A∩B)
P(AUB)= 0,6 + 0,8 - 0,5
P(AUB)= 1,4 - 0,5
P(AUB)= 0,9
P(AUB)= 90%
​
En conclusión la probabilidad de pasar al menos un examen es de 0,9 o del 90%.
B) Para este ejercicio primero debemos hallar la probabilidad inversa del evento A mediante la siguiente fórmula:
P(A´)= 1 - P(A)
P(A´)= 1 - 0,6
P(A´)= 0,4
​
Entonces la probabilidad de no pasar el primer examen de es 0,4. Ahora usamos la fórmula de probabilidad condicional:
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P(B|A´)= P(B∩A´)/P(A´)
P(B|A´)= (P(B)*P(A´))/P(A´)
P(B|A´)= (0,8*0,4)/0,4
P(B|A´)= 0,32/0,4
P(B|A´)= 0,8
​
En conclusión, la probabilidad de pasar el segundo examen luego de haber perdido el primero es 0,8, siendo la misma probabilidad que se enunció. Esto se debe a que los eventos aquí presentados son independientes, es decir, que para que ocurra un evento no es necesario que ocurra o dependa del otro. Por tal razón se multiplicaron en el numerador en cambio de interceptarlos.
Se realiza una encuesta a los 90 alumnos del bachillerato del Colegio Hebreo Unión, con el fin de conocer si practican deportes y cuál es el más popular. Con esta información se pretende buscar los fuertes del colegio para los próximos juegos macabeos.
Los resultados obtenidos fueron los siguientes:
4. ¿ Cuantos estudiantes del colegio practican el futbol?
A) 31,5.
B) 85.
C) 120.
D) 24,7.
5. ¿Cuantos estudiantes del colegio practican el voleibol?
A) 15,7.
B) 17.
C) 22.
D) 22,9.
SOLUCIÓN:
4.
Calculamos la cantidad de estudiantes que practican deporte.
Para eso aplicamos regla de tres simple:
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90 --- 100%
X --- 70%
​
Multiplicamos los valores que estén en las esquinas y dividimos por el valor que queda solo, siguiendo esta fórmula:
X= (90*70)/100 ; MULTIPLICAMOS
X= 6300/100 ; DIVIDIMOS
X= 63
​
Vemos que 63 de los 90 alumnos practican deporte, ahora hallemos los que juegan fútbol, con la misma regla de tres.
​
63 --- 100%
FÚBOL --- 50%
​
Siguiendo la fórmula:
X= (65*50)/100 ; MULTIPLICAMOS
X= 3250/100 ; DIVIDIMOS
X= 32,5
​
En conclusión, son 32,5 alumnos que juegan fútbol dado que practican deporte. Por lo cual la respuesta sería la A.
A) 31,5.
5.Como en el ejercicio anterior aplicamos dos veces la regla de tres, pero como ya sabemos que son 63 estudiantes que practican deporte, entonces usemos una regla de tres para calcular la cantidad que juega voleibol.
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63--- 100%
X ---25%
​
Multiplicamos los valores que estén en las esquinas y dividimos por el valor que queda solo, siguiendo esta fórmula:
X= (63*25)/100 ; MULTIPLICAMOS
X= 1575/100 ; DIVIDIMOS
X= 15,7
​
En conclusión, son 15,7 alumnos que juegan voleibol dado que practican deporte. Por lo cual la respuesta sería la A.
A) 15,7.
Ahora mira estos vídeos para ampliar tu conocimiento:
VERSIÓN IMPRIMIBLE DEL SITIO:
HECHO POR:
JUAN ANDRÉS BERMÚDEZ GÓMEZ
ANGIE PAOLA ACEVEDO GÓMEZ